data: 2023-10-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Topologia della retta reale - Sommario
tipologia: appunti
stato: "0"A. Intorni
Tutto sulla topologia della retta reale.
data: 2023-10-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Intorni
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di distanza (con le sue proprietà), intorno centrato aperto di centro
In questo capitolo studieremo e definiremo delle nomenclature necessarie per studiare i limiti (Definizione di Limite di funzioneDefinizione di Limite di funzione).
Siano
FIGURA 1.1. (Idea grafica della distanza)
Graficamente questo corrisponde, appunto, alla distanza tra due punti sulla retta reale.
Possiamo verificare alcune proprietà di questa applicazione (FunzioniFunzioni); la prima essendo la proprietà antiriflessiva.
Analogamente alle disuguaglianze triangolari già viste nei numeri complessicomplessi (PROP. 4.7.) e col valore assolutovalore assoluto (OSS 3.1.1.) si verifica che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.3. (^ff0f13Proposizione 4 (Disuguaglianza Triangolare.))
Infatti dall'osservazione 3.1.1. di Funzioni di potenza, radice e valore assolutoFunzioni di potenza, radice e valore assoluto so che se
Noto che questa nozione di distanza euclidea può essere anche definita sui numeri complessi
Inoltre scopriamo che questa definizione della distanza euclidea su
FIGURA 1.1. (Idea della distanza euclidea su
Sia
Quindi questo è l'insieme di tutti i punti di
FIGURA 2.1. (Idea di intorno centrato)
Come fatto nell'osservazione 1.1. (^03c61cOsservazione 5 (distanza euclidea sui complessi)), questa nozione di intorno centrato aperto può essere applicato a
Allora si può definire l'intorno centrato aperto in
FIGURA 2.1. (Intorno in
Sia
FIGURA 3.1. (Idea di intorno)
Prendo
FIGURA 3.2. (Idea dell'intorno di
L'intervallo
FIGURA 3.2. (Esempio grafico)
Se prendendo l'insieme
Considerando i numeri naturali (Numeri Naturali - SommarioNumeri Naturali - Sommario), ci chiediamo se questo insieme è intorno di
Tuttavia se consideriamo l'insieme
Analogo il discorso per gli intervalli di
data: 2023-10-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Punti interni, esterni e di frontiera
tipologia: appunti
stato: "1"Definizioni di punti interni, punti interni e punti di frontiera. Esempi.
Questo argomento presuppone la conoscenza dell'argomento di IntervalliIntervalli.
Sia
Per farlo devo innanzitutto disegnare il grafico di
Ora "provo" ogni numero fissando
Scegliendo
Scegliendo
Però scegliendo
Analoghi i discorsi per
Concludo allora che
FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Un punto
Quindi
ESEMPIO 2.1. Considerando l'esempio di prima con
Usando la stessa procedura nell'esempio 1.1., troviamo che
FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Un punto
Inoltre definiamo l'insieme dei punti di frontiera di
Questa definizione equivale a negare la proposizione
"Ogni intorno di
Considerando lo stesso esempio di prima, ovvero
Procedendo con lo stesso disegno, cerchiamo di "provare" ogni punto per trovare elementi di
FIGURA 3.1. (Esempio 3.1.)
Consideriamo finalmente dei casi diversi da quelli esaminati prima. Sia
Scopro le seguenti:
Questo si verifica perché, da un lato abbiamo la densità di
Però allo stesso tempo, come visto prima, i numeri irrazionali sono densi in
FIGURA 3.2. (Esempio 3.2.)
data: 2023-10-20
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Insiemi aperti e chiusi
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di insieme aperto e chiuso. Teorema sugli insiemi aperti e chiusi.
Sia
Osservo che l'insieme
Considero l'intervallo aperto (Intervalli > ^6d6e94Intervalli > ^6d6e94)
Formalizzando questo ragionamento, ho
FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Ora considero l'insieme
Considerando un insieme
ESEMPIO 2.1. Consideriamo l'intervallo chiuso (IntervalliIntervalli, DEF 1.1.)
Infatti definendo
Graficamente questo ragionamento corrisponde alla figura 2.1..
FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Abbiamo le seguenti proposizioni:
Abbiamo invece le stesse proposizioni per gli insiemi chiusi:
Notiamo che se dimostriamo almeno uno di questi due teoremi, allora si ha automaticamente dimostrato l'altro teorema, in quanto la definizione dell'insieme chiuso (^36f40dDefinizione 2.1. (Insieme Chiuso)) ci suggerisce che le stesse proprietà valgono.
Infatti, la definizione dell'insieme chiuso si basa sulla definizione dell'insieme aperto, tenendo però conto del complementare dell'insieme; perciò basta tenere conto delle leggi di De Morgan (Logica formale - SommarioLogica formale - Sommario).
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^63081bTeorema 5 (Proprietà degli insiemi aperti.))
L'insieme vuoto
Altrimenti è possibile pensare in termini di insiemi complementari.
Per quanto riguarda l'insieme dei numeri reali
Sia
Allora considero un
Siano
Però questo non vuol dire che l'intersezione infinita tra insiemi aperti debba essere necessariamente aperta: infatti si propone il seguente controesempio.
Considero la successione di intorni
Inoltre gli intervalli
Disegnando il grafico (lasciato al lettore per esercizio) notiamo che se prendiamo l'intersezione di tutti gli intervalli
Allora si può concludere che
Un insieme del tipo presentato nella dimostrazione può essere
data: 2023-10-23
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Punti di aderenza e di accumulazione
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di punto di aderenza e di accumulazione. La chiusura e il derivato di un insieme. Primo teorema di Bolzano-Weierstraß.
Sia
Allora
Inoltre definiamo l'insieme dei punti di chiusura dell'insieme
Consideriamo l'insieme
Per farlo è possibile disegnare il grafico di
Si evince che:
I numeri
1 è un punto di aderenza, in quanto per tutti gli intorni in
In conclusione è possibile individuare
FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Osserviamo che per ogni insieme è vera che
Considero l'insieme
Voglio studiare l'insieme dei numeri razionali
Prima di tutto, sicuramente
In definitiva, per l'assioma di Dedekind (Assiomi dei Numeri Reali > ^c29076Assiomi dei Numeri Reali > ^c29076) sappiamo che tra un numero razionale
Possiamo enunciare le seguenti proprietà per la chiusura di
Sia
Sia
L'insieme dei punti di accumulazione per
Come abbiamo definito degli intorni di
Analoga la definizione di un insieme
Questo diventerà importante in particolare per studiare i limiti di successioni (Limite di SuccessioneLimite di Successione)
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^622755Teorema 9 (di caratterizzazione degli punti di accumulazione.))
Questa dimostrazione si articola in due sotto-dimostrazioni.
"
"
Per dimostrare questa proposizione, procediamo dimostrando la contronominale; ovvero che se in ogni intorno di
Supponiamo quindi che
Considero dunque
FIGURA 2.1. (Idea del passaggio finale)
Prendiamo di nuovo l'intervallo
Ovviamente
Allora
Prendiamo l'insieme
Prima di tutto, vediamo che
Analogo discorso per tutti gli elementi
Finalmente vediamo che
Prendiamo i numeri naturali (Numeri Naturali - SommarioNumeri Naturali - Sommario).
Si scopre che
Questo esempio si rivelerà fondamentale per la definizione di limite di successione (Limite di Successione > ^ef60f6Definizione 3 (limite di successione)).
data: 2023-10-23
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Primo Teorema di B-W
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo:Enunciato e dimostrazione del primo teorema di Bolzano-Weierstraß
Enunciamo uno dei teoremi più noti dell'analisi matematica, che ci garantisce l'esistenza di un punto di accumulazione in
Sia
Allora si verifica il seguente:
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del primo teorema di Bolzano-Weierstraß (^8417b2Teorema 1 (Primo teorema di Bolzano-Weierstraß.))
Se
Allora considero
Inoltre almeno uno di questi intervalli devono essere infiniti, in quanto se supponessimo per assurdo che entrambi gli intervalli fossero finiti, allora la loro unione sarebbe anch'essa finita.
Tenendo questo in considerazione, scegliamo uno di questi. Ora chiamo questo intervallo
Quindi otteniamo una successione di intervalli inscatolati, limitati, infiniti e dimezzati (IntervalliIntervalli)
Ora voglio trovare un intorno di
FIGURA 1.1. (Idea grafica del primo passaggio)
Se si vuole consultare il file messo a parte per questa sezione visitare Nesso tra Topologia di R e Successioni - SommarioNesso tra Topologia di R e Successioni - Sommario
data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß
tipologia: appunti
stato: "1"Richiami al primo teorema di Bolzano-Weierstraß; interpretazione del medesimo teorema in termini di successioni; enunciato del teorema; dimostrazione del teorema.
Richiamiamo il primo teorema di Bolzano-Weierstraß in Punti di aderenza e di accumulazionePunti di aderenza e di accumulazione.
Sia
Allora si verifica il seguente:
Idea. Abbiamo appena letto l'enunciato del primo teorema di Bolzano-Weierstraß, che viene anche detta come la "forma insiemistica" di tale teorema: ora la vogliamo interpretare con le nozioni di successione, successione convergente, e di sotto successione. (Successione e SottosuccessioneSuccessione e Sottosuccessione)
Sia
Allora deve esistere una sotto successione convergente
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del secondo teorema di Bolzano-Weierstraß (^69cfa9Teorema 2 (Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß.))
Chiamo
Ora ci sono due possibilità: che
data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Insiemi compatti in R
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di insiemi compatti in R; R come spazio metrico; teorema di caratterizzazione dei compatti in R; lemma di caratterizzazione della chiusura tramite la successione; dimostrazione del teorema.
Osserviamo che dal titolo leggiamo che stiamo in specifica prendendo l'insieme
Per approfondire questo tema rivolgersi alla dispensa di D.D.S., capitolo 10.2, p. 33.
Sia
Con questa definizione, un insieme compatto sembra un ente di cui è quasi impossibile da verificare: infatti diventa interessante trovare una caratterizzazione alternativa con un teorema.
Sia
Tesi. Allora
Prima di poter procedere alla dimostrazione, ci serve il seguente lemma.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 2.1. (^9c1b28Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.))
Questo è un teorema del tipo
data: 2023-11-07
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Successioni di Cauchy
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di successione di Cauchy; teorema sulla successione di Cauchy; teorema di completezza di R; esiti della dimostrazione del teorema di completezza di R.
Sia
Osserviamo che questa definizione è ben diversa dalla nozione di convergenza: con la convergenza abbiamo un punto che si avvicina ad un certo valore, invece qui abbiamo due punti
Tuttavia in
Se una successione in