Uni
2.1 - Sommari
Topologia della retta reale - Sommario

A. Intorni

Tutto sulla topologia della retta reale.

Intorni

Definizione di distanza (con le sue proprietà), intorno centrato aperto di centro e di raggio , intorno di ; la retta estesa, l'intorno di e di .

0. Preambolo, pagine correlate

In questo capitolo studieremo e definiremo delle nomenclature necessarie per studiare i limiti (Definizione di Limite di funzione).

1. Distanza euclidea

Definizione 1 (Distanza Euclidea.).

Siano , allora definisco la distanza (oppure distanza euclidea) di il valore

FIGURA 1.1. (Idea grafica della distanza)
Graficamente questo corrisponde, appunto, alla distanza tra due punti sulla retta reale.
Pasted image 20231022155041.png

Proprietà della distanza euclidea

Possiamo verificare alcune proprietà di questa applicazione (Funzioni); la prima essendo la proprietà antiriflessiva.

Proposizione 2 (Antiriflessività.).

Proposizione 3 (Proprietà simmetrica.).

Proposizione 4 (Disuguaglianza Triangolare.).

Analogamente alle disuguaglianze triangolari già viste nei numeri complessi (PROP. 4.7.) e col valore assoluto (OSS 3.1.1.) si verifica che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.3. (Proposizione 4 (Disuguaglianza Triangolare.))
Infatti dall'osservazione 3.1.1. di Funzioni di potenza, radice e valore assoluto so che se può essere applicato con e , così diventa

Osservazione 5 (distanza euclidea sui complessi).

Noto che questa nozione di distanza euclidea può essere anche definita sui numeri complessi ; infatti posso porre dove rappresenta il modulo di un numero complesso (Operazioni sui Numeri Complessi > ^53f86b).
Inoltre scopriamo che questa definizione della distanza euclidea su conserva le tre proprietà (PROP 1.1., 1.2., 1.3.) appena enunciate. Pertanto è possibile "far coincidere" modulo e distanza euclidea in quanto vi è un isomorfismo tra queste due applicazioni.

FIGURA 1.1. (Idea della distanza euclidea su )
Pasted image 20231022155125.png

2. Intorno centrato aperto di centro x e di raggio r

Definizione 6 (Intorno centrato.).

Sia e sia ; allora chiamo "l'intorno centrato aperto di centro e di raggio " l'intervallo aperto (Intervalli > ^6d6e94)
un altro nome può essere la palla aperta di centro e di raggio
Quindi questo è l'insieme di tutti i punti di che hanno distanza da meno di .

FIGURA 2.1. (Idea di intorno centrato)
Pasted image 20231022155144.png

Osservazione 7 (intorno centrato aperto nei complessi).

Come fatto nell'osservazione 1.1. (Osservazione 5 (distanza euclidea sui complessi)), questa nozione di intorno centrato aperto può essere applicato a usando la nozione di modulo; infatti graficamente questa corrisponde ad una palla in 2D di centro e di raggio . (Figura 2.1.)

Osservazione 8 (intorno centrato aperto nello spazio tridimensionale).

Allora si può definire l'intorno centrato aperto in dove definisco E graficamente questa corrisponde ad una vera palla. Letteralmente. (Figura 2.1.)

FIGURA 2.1. (Intorno in , )
Pasted image 20231022155218.png

3. Intorno

Definizione 9 (Intorno di un punto.).

Sia , chiamo allora l'intorno di un qualunque insieme di che contiene una palla aperta di centro e raggio (Definizione 6 (Intorno centrato.)).

FIGURA 3.1. (Idea di intorno)
Pasted image 20231022155308.png

Definizione 10 (Intorno di .).

Prendo l'insieme dei reali estesi, ovvero
e definisco l'intorno di di un qualunque sottoinsieme che contiene una semiretta ; ovvero un insieme superiormente illimitato (Definizione 8 (insieme superiormente illimitato)) del tipo .

FIGURA 3.2. (Idea dell'intorno di )
Pasted image 20231022155322.png

Esempi

Esempio 11 (Esempio 3.1.).

L'intervallo è intorno di ; infatti è possibile prendere e ottenere la palla aperta di centro e di raggio che equivale a che infatti è contenuto nell'intervallo (figura 3.2.)

FIGURA 3.2. (Esempio grafico)
Pasted image 20231022155336.png

Esempio 12 (Esempio 3.2.).

Se prendendo l'insieme e il punto , scopriamo che non è intorno di ; infatti prendendo per qualsiasi non riesco a formare una palla attorno a , in quanto è definita sui numeri naturali che contiene dei "buchi".

Esempio 13 ( è intorno di +?).

Considerando i numeri naturali (Numeri Naturali - Sommario), ci chiediamo se questo insieme è intorno di ; la risposta è no: esistono degli elementi in che non sono contenuti in , come ad esempio i numeri razionali.
Tuttavia se consideriamo l'insieme allora la risposta è sì in quanto si considera un intervallo su .
Analogo il discorso per gli intervalli di .

B. Punti interni, esterni e di frontiera

Punti interni, esterni e di frontiera
Punti interni, esterni e di frontiera

Definizioni di punti interni, punti interni e punti di frontiera. Esempi.

0. Preambolo

Questo argomento presuppone la conoscenza dell'argomento di Intervalli.

1. Punto interno

Definizione 1 (Punto interno ad un insieme, l'insieme dei punti interni.).

Sia e , si definisce punto interno a se viene verificato che
ovvero se esiste un intorno di che è contenuto in (Intorni, DEF 3.1.).
Inoltre chiamo l'insieme dei punti interni a come .

Esempio di punto interno

Esempio 2 (Esempio 1.1.).

Sia e voglio trovare l'insieme dei punti interni .
Per farlo devo innanzitutto disegnare il grafico di per poter capire come procedere (figura 1.1.).
Ora "provo" ogni numero fissando il numero scelto.
Scegliendo vedo chiaramente che non è punto interno, in quanto è impossibile che esista un intorno centrato a raggio r ad esso.
Scegliendo vedo che neanche questo è un punto interno; non riesco a definire un intorno centrato tale che a "sinistra" di c'è un punto appartenente a .
Però scegliendo è possibile; infatti posso definire un intorno di con .
Analoghi i discorsi per e
Concludo allora che

FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Pasted image 20231022155526.png

2. Punto esterno

Definizione 3 (Punto esterno ad un insieme.).

Un punto si dice esterno ad un insieme se è interno al complementare di , ovvero (Operazioni con gli Insiemi > ^080cd5).
Quindi
è

Esempio di punto esterno

ESEMPIO 2.1. Considerando l'esempio di prima con ora vogliamo trovare l'insieme di tutti i punti esterni. Allora usando lo stesso grafico di prima, faccio esattamente i stessi procedimenti di prima considerando però il complemento di , ovvero tutti i punti che non appartengono ad .
Usando la stessa procedura nell'esempio 1.1., troviamo che

FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Pasted image 20231022155547.png

3. Punti di frontiera

Definizione 4 (Punto di frontiera per un insieme, insieme dei punti di frontiera.).

Un punto si dice di frontiera per se questo punto non è ne interno ne esterno ad .
Inoltre definiamo l'insieme dei punti di frontiera di come
e si legge come "delta storto E"

Osservazione 5 (Osservazione 3.1. (significato logico della definizione punto di frontiera)).

Questa definizione equivale a negare la proposizione
Allora secondo le leggi di De Morgan e delle regole della logica formale (Logica formale - Sommario) questo diventa
Inoltre, dato che
ovvero che un insieme non è sottoinsieme di se e solo se l'intersezione tra e il complemento di non è vuota (ovvero ha almeno un elemento), questo diventa
In definitiva l'essere punto di frontiera per equivale a soddisfare il seguente predicato:
"Ogni intorno di deve contenere sia punti di e il suo complemento ".

Esempi misti e di punti di frontiera

Esempio 6 (Esempio 3.1.).

Considerando lo stesso esempio di prima, ovvero vogliamo trovare .
Procedendo con lo stesso disegno, cerchiamo di "provare" ogni punto per trovare elementi di .
; Questo non è elemento di , in quanto posso facilmente trovare un intorno che contenga solo elementi del complemento di .
; Provando a considerare ogni intorno di trovo che deve per forza dev'esserci un punto sia in che nel suo complemento.
; Stesso discorso analogo di prima.
; Di nuovo lo stesso discorso.
; Qui invece è possibile trovare un intorno che contenga solo punti di . Ad esempio un intorno centrato in con raggio .

FIGURA 3.1. (Esempio 3.1.)
Pasted image 20231022155603.png

Esempio 7 (Esempio 3.2.).

Consideriamo finalmente dei casi diversi da quelli esaminati prima. Sia ovvero tutti i numeri razionali compresi tra 1, 2 esclusi.
Scopro le seguenti:
; infatti in questo insieme non vi ci sono punti interni, in quanto l'assioma di separazione non vale in (Assiomi dei Numeri Reali, S), OSS 6.2. ); quindi ci sono sempre dei "buchi" tra due numeri razionali, ovvero dei numeri irrazionali. Infatti è possibile dimostrare che i numeri irrazionali sono densi in .
; qui si verifica un fenomeno strano, ovvero che si verifica che è più "grande" di stessa.
Questo si verifica perché, da un lato abbiamo la densità di in (Conseguenze dell'esistenza dell'estremo superiore, TEOREMA 4.1.); infatti se considero un punto in e considero gli "estremi" del suo intorno allora tra e dev'esserci almeno un numero razionale.
Però allo stesso tempo, come visto prima, i numeri irrazionali sono densi in ; di conseguenza se ci sono sia dei numeri razionali (appartenenti a ) che dei irrazionali (appartenenti al complemento di ) allora vediamo che tutti i punti di (gli estremi inclusi) sono punti di frontiera.

FIGURA 3.2. (Esempio 3.2.)
Pasted image 20231022155622.png

C. Insiemi aperti e chiusi

Insiemi aperti e chiusi
Insiemi aperti e chiusi

Definizione di insieme aperto e chiuso. Teorema sugli insiemi aperti e chiusi.

1. Insieme aperto

Definizione 1.1. (Insieme Aperto).

Sia ; l'insieme si dice aperto se e e solo se tutti i suoi punti sono punti interni all'insieme stesso (Definizione 1 (Punto interno ad un insieme, l'insieme dei punti interni.)); ovvero se

Osservazione 1 (condizione necessaria e sufficiente per l'essere aperto di un insieme).

Osservo che l'insieme è aperto se e solo se .

Esempi di insiemi aperti

Esempio 2 (Esempio 1.1.).

Considero l'intervallo aperto (Intervalli > ^6d6e94) voglio sapere se questo è insieme aperto; scegliendo un qualunque punto all'interno di questo intervallo, allora posso sicuramente trovare un intorno in tale per cui contiene solo elementi di . Infatti se scelgo come la distanza minima tra e ciascun estremo, scopro che l'intorno centrato aperto di questo raggio (Intorni) contiene solo punti di (dunque esso è sottoinsieme di ).
Formalizzando questo ragionamento, ho Graficamente questo ragionamento corrisponde alla figura 1.1.

FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Pasted image 20231022160204.png

Esempio 3 (Esempio 1.2.).

Ora considero l'insieme che non è aperto, in quanto considerando trovo che questo elemento (o punto) non è interno a . Analogo il discorso per .

2. Insieme chiuso

Definizione 2.1. (Insieme Chiuso).

Considerando un insieme , si dice che esso è chiuso se il suo complemento è aperto. Ovvero se è aperto.

Esempi di insiemi chiusi

Esempio 4 (Esempio 2.1.).

ESEMPIO 2.1. Consideriamo l'intervallo chiuso (Intervalli, DEF 1.1.) Considerando il suo complemento vediamo che questo insieme (il complemento) è aperto; infatti ad ogni punto del complemento vediamo che è possibile definire un tale che l'intorno centrato aperto di questo raggio sia sottoinsieme di .
Infatti definendo come sicuramente troviamo che tutti i punti sono interni al complemento di .
Graficamente questo ragionamento corrisponde alla figura 2.1..

FIGURA 2.1. (Esempio 2.1.)
Pasted image 20231022160230.png

3. Teoremi sugli insiemi aperti e chiusi

Teorema 5 (Proprietà degli insiemi aperti.).

Abbiamo le seguenti proposizioni:

  1. Gli insiemi sono insiemi aperti
  2. L'unione (Operazioni con gli Insiemi) di due insiemi aperti è sicuramente un insieme aperto.
  3. L'intersezione (Operazioni con gli Insiemi) di due insiemi aperti è sicuramente un insieme aperto.
Teorema 6 (Proprietà degli insiemi chiusi.).

Abbiamo invece le stesse proposizioni per gli insiemi chiusi:

  1. Gli insiemi sono insiemi chiusi
  2. L'unione (Operazioni con gli Insiemi) di due insiemi chiusi è sicuramente un insieme chiuso.
  3. L'intersezione (Operazioni con gli Insiemi) di due insiemi chiusi è sicuramente un insieme chiuso.
Osservazione 7 (basta dimostrare solo uno dei due teoremi).

Notiamo che se dimostriamo almeno uno di questi due teoremi, allora si ha automaticamente dimostrato l'altro teorema, in quanto la definizione dell'insieme chiuso (Definizione 2.1. (Insieme Chiuso)) ci suggerisce che le stesse proprietà valgono.
Infatti, la definizione dell'insieme chiuso si basa sulla definizione dell'insieme aperto, tenendo però conto del complementare dell'insieme; perciò basta tenere conto delle leggi di De Morgan (Logica formale - Sommario).

  1. L'insieme vuoto non ha nessun elemento; per verificare se questo insieme vuoto è aperto, bisognerebbe allora verificare che tutti gli elementi di questo insieme gode della proprietà necessaria. Pertanto si può pensare che tutti gli elementi (ovvero nessuno) di questo insieme può godere tutte le proprietà che si vuole.
    Altrimenti è possibile pensare in termini di insiemi complementari.

    Per quanto riguarda l'insieme dei numeri reali e prendendo un elemento allora si trova automaticamente che è verificata.

  2. Sia un insieme di insiemi aperti. Per un insieme del genere vedere esempio 3.2..
    Allora considero un Allora da ciò discende che esiste un tale che il punto appartenga all'insieme aperto , ovvero Allora è vero che esiste una palla aperta (Definizione 6 (Intorno centrato.)) che venga contenuta in quell'insieme aperto. Ovvero Ma allora ciò implica che

  3. Siano e due insiemi aperti; scelgo allora un . Quindi ciò vuol dire che Poi scegliendo il minimo tra e , ovvero Allora ho che il che vuol dire l'intersezione tra e è aperto.

Osservazione 8 (l'intersezione infinita tra insiemi aperti non è un aperto).

Però questo non vuol dire che l'intersezione infinita tra insiemi aperti debba essere necessariamente aperta: infatti si propone il seguente controesempio.

Esempio 9 (controesempio per l'osservazione 3.2.).

Considero la successione di intorni e vediamo che l'intervallo è aperto per ogni .
Inoltre gli intervalli sono inscatolati (Definizione 7 (intervalli inscatolati)).
Disegnando il grafico (lasciato al lettore per esercizio) notiamo che se prendiamo l'intersezione di tutti gli intervalli i numeri compresi tra stanno sicuramente all'interno di questo intervallo, come si può evincere dal grafico; invece per la proprietà di Archimede (Teorema 3 (Archimedeità di .)), per ogni numero che sta fuori da , esiste un intervallo che non lo include; ovvero (la dimostrazione completa è lasciata al lettore)
Allora si può concludere che che non è un insieme aperto.

Esempio 10 (famiglia di insiemi aperti).

Un insieme del tipo presentato nella dimostrazione può essere

D. Punti di aderenza e di accumulazione

Punti di aderenza e di accumulazione
Punti di aderenza e di accumulazione

Definizione di punto di aderenza e di accumulazione. La chiusura e il derivato di un insieme. Primo teorema di Bolzano-Weierstraß.

1. Punti di aderenza (o di chiusura)

Definizione 1 (Punto di aderenza o di chiusura per un insieme, chiusura di un insieme.).

Sia , .
Allora si dice punto di chiusura (o di aderenza) per se è vera la seguente: Ovvero in ogni palla/intorno centrato di (Definizione 9 (Intorno di un punto.)) devono esserci elementi di .
Inoltre definiamo l'insieme dei punti di chiusura dell'insieme si dicono la chiusura (o aderenza) di , scritto come .

Esempio 2 (Esempio 1.1.).

Consideriamo l'insieme e voglio trovare gli elementi di .
Per farlo è possibile disegnare il grafico di , poi "testare" ogni elemento della retta per vedere quali sono i potenziali elementi di .
Si evince che:
I numeri non sono punti di aderenza per , in quanto è possibile individuare almeno un intorno fuori da (ovvero che non contenga elementi di ).
1 è un punto di aderenza, in quanto per tutti gli intorni in abbiamo sempre almeno un elemento di ; infatti si deve sempre "andare a destra", "entrando" in . Analogo il discorso per .
In conclusione è possibile individuare

FIGURA 1.1. (Esempio 1.1.)
Pasted image 20231103215330.png

Osservazione 3 (proprietà della chiusura).

Osserviamo che per ogni insieme è vera che (da rielaborare meglio, forse da dimostrare formalmente)

Esempio 4 (Esempio 1.2.).

Considero l'insieme poi voglio trovare le seguenti: .
e ; a questi insiemi aggiungiamo il numero in quanto per l'Archimedeità di (Conseguenze dell'esistenza dell'estremo superiore, TEOREMA 3.1.) è sempre possibile trovare un tale che; infatti è definita tramite gli , che presenta dei "buchi" in .

Esempio 5 (Esempio 1.3.).

Voglio studiare l'insieme dei numeri razionali (Richiami sui Numeri Razionali).
Prima di tutto, sicuramente per la densità di in (Teorema 5 (Densità dei razionali nei reali.)). Ovvero da ciò consegue che prendendo un punto , è possibile trovare sempre dei numeri razionali per qualsiasi intorno con . Infatti In secondo luogo vediamo che l'insieme dei punti di frontiera è anch'esso per motivi analoghi.
In definitiva, per l'assioma di Dedekind (Assiomi dei Numeri Reali > ^c29076) sappiamo che tra un numero razionale e un altro numero (in questo caso prendiamo ) dev'esserci un numero irrazionale che non appartiene a ; allora non ci sono dei punti interni (Definizione 1 (Punto interno ad un insieme, l'insieme dei punti interni.)).

Proprietà della chiusura

Possiamo enunciare le seguenti proprietà per la chiusura di .

Teorema 6 (Proprietà della chiusura .).

Sia , allora sono vere che:

  1. è un insieme chiuso (Definizione 2.1. (Insieme Chiuso)). Per provare questo, bisognerebbe dimostrare che l'insieme complementare della chiusura di è aperto; quindi bisogna considerare i punti che non stanno né in né nella sua chiusura e poi dimostrare che esiste un'intervallo di ogni punto che non sta nella chiusura.
  2. è il più piccolo chiuso che contiene . Quindi ho in mente una relazione d'ordine (Relazioni, DEF 4.1.), ovvero dal punto di vista di quella d'inclusione. Ovvero
  3. Un insieme è chiuso se e solo se

2. Punti di accumulazione

Definizione 7 (Punto di accumulazione, derivato di un insieme.).

Sia , . Si dice che è un punto di accumulazione di se è vera che
ovvero un punto di aderenza escludendo però il punto stesso; quindi un punto è di accumulazione per se in ogni intorno di ci sono punti di diversi da se stesso.

L'insieme dei punti di accumulazione per si chiama derivato di , demarcata col simbolo e si legge come "d corsivo maiuscolo".

Osservazione 8 (significato di punto di accumulazione).

Come abbiamo definito degli intorni di o di (Definizione 10 (Intorno di .)) è possibile definire anche o , in una maniera analoga, come punti di accumulazione di un insieme . Un è punto di accumulazione per vuol dire che si verifica il seguente: ovvero ovvero che per ogni semiretta a partire da , dev'esserci almeno un elemento in comune tra questa semiretta e l'insieme con come punto di accumulazione.
Analoga la definizione di un insieme che ha come punto di accumulazione.
Questo diventerà importante in particolare per studiare i limiti di successioni (Limite di Successione)

Teorema 9 (di caratterizzazione degli punti di accumulazione.).

Sia , . è punto di accumulazione per se e solo se in ogni intorno di ci sono infiniti punti di .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 9 (di caratterizzazione degli punti di accumulazione.))
Questa dimostrazione si articola in due sotto-dimostrazioni.
"": Dimostriamo che se in ogni intorno di ci sono infiniti punti di , allora è di accumulazione per : questo è evidentemente vero, in quanto se in ogni intorno di ci sono infiniti punti di , allora dev'esserci almeno un elemento di in questo intorno diverso da .
"": Ora notiamo il viceversa; ovvero che se è di accumulazione per allora in ogni suo intorno ci sono infiniti punti di .
Per dimostrare questa proposizione, procediamo dimostrando la contronominale; ovvero che se in ogni intorno di ci sono elementi finiti di , allora non è punto di accumulazione per (Logica formale - Sommario); in una maniera simile si può dimostrare per assurdo.
Supponiamo quindi che abbia un intorno in cui ci sono un numero finito punti di : allora
(figura 2.1.)
Considero dunque ovvero la minima distanza tra e un qualunque punto di . Allora risulta che
il che ci dimostra che non è di accumulazione per . (oppure è un punto isolato).

FIGURA 2.1. (Idea del passaggio finale)
Pasted image 20231103215401.png

Esempio di derivato di un insieme

Esempio 10 (Esempio 2.1.).

Prendiamo di nuovo l'intervallo E voglio individuare . Con lo stesso approccio di esempio 1.1., "testiamo" dei elementi della retta reale per vedere se possono essere dei punti di accumulazione.
Ovviamente non può essere punto di accumulazione.
sono punti di accumulazione per in quanto disegnando un qualsiasi intorno di questi punti, si deve per forza disegnare un intervallo che contenga elementi di . Analogo il discorso per i numeri .
Allora

Esempio 11 (Esempio 2.2.).

Prendiamo l'insieme Con lo stesso approccio di sempre, individuiamo gli elementi di .
Prima di tutto, vediamo che non è punto di accumulazione. Infatti è possibile individuare un intorno che non abbia elementi di : basta porre .
Analogo discorso per tutti gli elementi ponendo .
Finalmente vediamo che è punto di accumulazione per l'Archimedeità dei reali (Conseguenze dell'esistenza dell'estremo superiore, TEOREMA 3.1.). Infatti per qualsiasi è sempre possibile trovare tale che Allora .

Esempio 12 (punti di accumulazione per ).

Prendiamo i numeri naturali (Numeri Naturali - Sommario).
Si scopre che ; non esistono i numeri naturali che siano dei punti di accumulazione per , in quanto tutti questi numeri distano tra di loro. Basta infatti prendere l'intorno in di raggio . Invece è possibile dire che è punto di accumulazione per , in quanto grazie all'Archimedeità dei reali (Teorema 3 (Archimedeità di .)) si verifica la seguente condizione: ^740a07
Questo esempio si rivelerà fondamentale per la definizione di limite di successione (Definizione 3 (limite di successione)).

E. Primo teorema di B.W.

Primo Teorema di Bolzano-Weierstraß
Primo Teorema di Bolzano-Weierstraß

Enunciato e dimostrazione del primo teorema di Bolzano-Weierstraß

0. Prerequisiti e/o voci correlate

1. Enunciato del primo teorema di Bolzano-Weierstraß

Enunciamo uno dei teoremi più noti dell'analisi matematica, che ci garantisce l'esistenza di un punto di accumulazione in per una categoria di insiemi.

Teorema 1 (Primo teorema di Bolzano-Weierstraß.).

Sia , un insieme infinito e limitato. (Esempio 5 (Esempio 1.2.))
Allora si verifica il seguente:
ovvero che esista un numero che sia punto di accumulazione per .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del primo teorema di Bolzano-Weierstraß (Teorema 1 (Primo teorema di Bolzano-Weierstraß.))
Se è un insieme limitato allora per il teorema dell'esistenza dell'estremo superiore e inferiore (Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore > ^55bb5a) esistono ovvero e tali per cui .
Allora considero il punto medio tra e ; ora considero i due intervalli (figura 2.1.)
Inoltre almeno uno di questi intervalli devono essere infiniti, in quanto se supponessimo per assurdo che entrambi gli intervalli fossero finiti, allora la loro unione sarebbe anch'essa finita.
Tenendo questo in considerazione, scegliamo uno di questi. Ora chiamo questo intervallo , dove oppure , a seconda dell'intervallo scelto.
Quindi otteniamo una successione di intervalli inscatolati, limitati, infiniti e dimezzati (Intervalli) La forma forte del teorema di Cantor (Teorema 11 (Teorema di Cantor, forma forte.)) ci dice che facendo l'intersezione di tutti questi intervalli otteniamo un .
Ora voglio trovare un intorno di che contenga un qualunque insieme infinito . Ovvero voglio verificare che Allora la condizione è il che è possibile in quanto ricordandomi che e tenendo conto l'Archimedeità di (Teorema 3 (Archimedeità di .)) la condizione sopra citata è totalmente possibile visto che Abbiamo quindi che l'intorno in di raggio contiene l'insieme infinito , di conseguenza anche l'intorno stesso è infinito; dato che contiene infiniti punti di , per il teorema di caratterizzazione dei punti di accumulazione (^622755), è punto di accumulazione per .

FIGURA 1.1. (Idea grafica del primo passaggio)
Pasted image 20231103215430.png

F. Nesso con successioni (File a parte disponibile)

Se si vuole consultare il file messo a parte per questa sezione visitare Nesso tra Topologia di R e Successioni - Sommario

F1. Secondo teorema di B.W.

Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß
Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß

Richiami al primo teorema di Bolzano-Weierstraß; interpretazione del medesimo teorema in termini di successioni; enunciato del teorema; dimostrazione del teorema.

0. Richiamo al primo teorema di B.W.

Richiamiamo il primo teorema di Bolzano-Weierstraß in Punti di aderenza e di accumulazione.

Teorema 1 (richiamo).).

Sia , un insieme infinito e limitato. (Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore, DEF 1.3.)
Allora si verifica il seguente: ovvero che esista un numero che sia punto di accumulazione per .

1. Enunciato del teorema

Idea. Abbiamo appena letto l'enunciato del primo teorema di Bolzano-Weierstraß, che viene anche detta come la "forma insiemistica" di tale teorema: ora la vogliamo interpretare con le nozioni di successione, successione convergente, e di sotto successione. (Successione e Sottosuccessione)

Teorema 2 (Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß.).

Sia una successione reale e limitata (Successione e Sottosuccessione, DEF 1.2., DEF 1.3.)
Allora deve esistere una sotto successione convergente (Successione e Sottosuccessione, DEF 2.1.), ovvero deve esistere

2. Dimostrazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del secondo teorema di Bolzano-Weierstraß (Teorema 2 (Secondo teorema di Bolzano-Weierstraß.))
Chiamo l'insieme dei valori di , ovvero l'insieme immagine della successione .
Ora ci sono due possibilità: che sia o finito o infinito.

  1. è finito: esempi di questo caso può essere la successione costante oppure la successione pari-dispari .
    Allora almeno un elemento in è immagine di infiniti indici ; scelgo allora una sotto successione opportuna tale da risultare una successione costante, che è ovviamente convergente.
    ESEMPIO 2.1. Ad esempio per basta scegliere o . L'idea è che abbiamo e scegliamo solo i termini pari o dispari: così abbiamo la successione estratta
  2. è infinito: ma comunque la successione , per ipotesi, è limitata. Allora è un insieme limitato e infinito; qui applico il primo teorema di Bolzano-Weierstraß richiamatasi all'inizio. Chiamo dunque il punto di accumulazione (Definizione 7 (Punto di accumulazione, derivato di un insieme.)) per : .
    Allora per definizione in ogni intorno di ci sono infiniti punti di .
    Ovvero in ogni intorno di ci sono infiniti punti-valori .
    Ora ci chiediamo se è possibile costruire una sottosuccessione tale che Allora per avere una risposta (che sarà ovviamente positiva) riflettiamo un attimo.
    0. Considero l'intorno e scelgo in questo intorno.
    1. Stesso discorso per l'intorno , con , ma anche tale che per conservare l'ordine. Posso farlo in quanto ci sono infiniti punti (ovvero valori ) attorno .
    2. Vado avanti così fino all'infinito; ho allora Allora Considerando che Allora per il teorema dei due carabinieri (Osservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)) ho FIGURA 2.1. (L'idea dell'ultimo passaggio)
      Pasted image 20231220182755.png

F2. Insiemi compatti

Insiemi compatti in R
Insiemi compatti in R

Definizione di insiemi compatti in R; R come spazio metrico; teorema di caratterizzazione dei compatti in R; lemma di caratterizzazione della chiusura tramite la successione; dimostrazione del teorema.

0. Preambolo - Spazi metrici e topologici

Osservazione 1 (spazi metrici e topologici).

Osserviamo che dal titolo leggiamo che stiamo in specifica prendendo l'insieme , in quanto questo è un insieme su cui possiamo definire una distanza (Definizione 1 (Distanza Euclidea.)). Infatti si dice che è uno spazio metrico, come lo è pure . Altrimenti un insieme su cui non può essere definita una distanza si dice spazio topologico.
Per approfondire questo tema rivolgersi alla dispensa di D.D.S., capitolo 10.2, p. 33.

1. Definizione di insieme compatto in R

Definizione 2 (Insieme compatto in R per successioni.).

Sia . si dice compatto per successione (d'ora in poi diremo compatto e basta) se vale la seguente proprietà: se da ogni successione a valori in posso estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto .

Osservazione 3 (la necessità di un teorema di caratterizzazione dei compatti).

Con questa definizione, un insieme compatto sembra un ente di cui è quasi impossibile da verificare: infatti diventa interessante trovare una caratterizzazione alternativa con un teorema.

2. Teorema di caratterizzazione dei compatti

Teorema 4 (Teorema di caratterizzazione dei compatti in R.).

Sia .
Tesi. Allora è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Lemma di caratterizzazione della chiusura

Prima di poter procedere alla dimostrazione, ci serve il seguente lemma.

Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.).

Sia .
Allora è chiuso (Definizione 2.1. (Insieme Chiuso)) se e solo se vale la seguente proprietà:
Se una qualsiasi successione a valori in è convergente, allora il limite appartiene all'insieme .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del lemma 2.1. (Lemma 5 (Caratterizzazione della chiusura tramite le successioni.))
Questo è un teorema del tipo , dimostriamo quindi entrambi i versi delle implicazioni.

  1. "": Sia chiuso; ora supponiamo (per assurdo) che sia falsa la proprietà . Ovvero supponiamo che esiste una successione a valori in tale che il suo punto di convergenza appartiene ad un punto fuori da (ovvero al suo complementare ).
    Però è chiuso, quindi per definizione è aperto: quindi abbiamo i seguenti. Però allo stesso tempo abbiamo, per definizione Tuttavia questo è un assurdo in quanto sappiamo che appartiene a , ma invece l'intorno contiene solo elementi di . Pertanto questo è impossibile! Allora la proprietà è e dev'essere vera.

F3. Successioni di Cauchy

Successioni di Cauchy
Successioni di Cauchy

Definizione di successione di Cauchy; teorema sulla successione di Cauchy; teorema di completezza di R; esiti della dimostrazione del teorema di completezza di R.

1. Definizione di Successione di Cauchy

Definizione 1 (Successione di Cauchy.).

Sia una successione reale (Successione e Sottosuccessione, DEF 1.2.), allora definiamo come successione di Cauchy se vale la seguente:

Osservazione 2 (Osservazione 1.1. (convergenza e Cauchy)).

Osserviamo che questa definizione è ben diversa dalla nozione di convergenza: con la convergenza abbiamo un punto che si avvicina ad un certo valore, invece qui abbiamo due punti e che si "avvicinano" tra di loro.
Tuttavia in è possibile dire che questi sono equivalenti in quanto ci troviamo in uno spazio metrico. Dimostreremo questa affermazione con due teoremi.

Teorema 3 (di caratterizzazione delle successioni convergenti).

Se una successione in è convergente, allora è di Cauchy.

Table Of Contents
A. Intorni
0. Preambolo, pagine correlate
1. Distanza euclidea
Proprietà della distanza euclidea
2. Intorno centrato aperto di centro x e di raggio r
3. Intorno
Esempi
B. Punti interni, esterni e di frontiera
0. Preambolo
1. Punto interno
Esempio di punto interno
2. Punto esterno
Esempio di punto esterno
3. Punti di frontiera
Esempi misti e di punti di frontiera
C. Insiemi aperti e chiusi
1. Insieme aperto
Esempi di insiemi aperti
2. Insieme chiuso
Esempi di insiemi chiusi
3. Teoremi sugli insiemi aperti e chiusi
D. Punti di aderenza e di accumulazione
1. Punti di aderenza (o di chiusura)
Proprietà della chiusura
2. Punti di accumulazione
Esempio di derivato di un insieme
E. Primo teorema di B.W.
0. Prerequisiti e/o voci correlate
1. Enunciato del primo teorema di Bolzano-Weierstraß
F. Nesso con successioni (File a parte disponibile)
F1. Secondo teorema di B.W.
0. Richiamo al primo teorema di B.W.
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione
F2. Insiemi compatti
0. Preambolo - Spazi metrici e topologici
1. Definizione di insieme compatto in R
2. Teorema di caratterizzazione dei compatti
Lemma di caratterizzazione della chiusura
F3. Successioni di Cauchy
1. Definizione di Successione di Cauchy